Hipi Zhdripi i Matematikës/1007

Hipi Zhdripi i Matematikës

KAPITULLI I PARË

ELEMENTE TË ALGJEBRËS SË PËRGJITHSHME

1. KONCEPTET DHE SIMBOLET E LOGJIKËS MATEMATIKE

Logjika matematike, degë e re dhe e rëndësishme e matematikës bashkëkohore, lindi kah mesi i shekullit XIX[1]. Ajo pati ndikim të veçantë në zhvillimin e një sërë lëmenjve të rinj të matematikës bashkëkohore dhe njëherit kontribuoi në përsosjen dhe begatimin e gjuhës simbolike [2] dhe në zgjerimin e zbatimeve të matematikës në tërësi.

1.1. GJYKIMET DHE LLOJET E GJYKLMEVE

Në logjikën matematike gjykimi (dëftimi, thënia) merret për koncept themelor i cili në aspektin e saktësisë (vërtetësisë) i nënshtrohet ligjit të përjashtimit të së tretës dhe ka vetëm njërën prej dy vlerave: është i saktë (i vërtetë) ose është jo i saktë (jo i vërtetë). Kështu, p. sh.: "Katrori është paralelogram" ; ; 2 > - 7; 102\vdots 3; 5 \in {0, 1, 2,\ldots , 9} ; \mathbb {N}\sub\mathbb {Z} janë gjykime të sakta, ndërkaq: Diagonalja e katrorit është më e vogël se brinja e tij; \sqrt{2}= 1,5; \pi =3; (a+1)^2 \ne (a+2)+1 janë gjykime jo të sakta.

Fjalët: i saktë dhe jo i saktë quhen vlerat e saktësisë së gjykimit dhe shënohen me simbolet \scriptstyle \top [3] (lexo: te) dhe \scriptstyle { \bot } (lexo: jo te). Gjykimet zakonisht i emërtojmë me germa të vogla të alfabetit (p. sh. p, q, r, ...) dhe ato trajtohen si variabla gjykimesh, kurse vlerat e tyre i shënojmë me: v (p), v (q), v (r), ... të cilat janë konstante. Mirëpo, për arsye të thjeshtimit shpesh në vend të v (p), v (q), v (r), ... shkruhet vetëm p, q, r,... .

Përkufizimi deskriptiv e joformal i gjykimit shprehet kështu:

1. ↑ Themeluesi i logjikës matematike konsiderohet matematikani i shquar anglet George Boole (1815-1864).
2. ↑ Në matematikë konstantet, variablat (ndryshoret), relacionet, dhe veprimet (operacionet)e ndryshme shënohen me shenja, shifra dhe germa të ndryshme dhe quhen simbole. Simbolet e konstanteve dhe variablave si dhe simbolet që merren nga ato me anë të veprimeve të përkufizuara quhen shprehje matematike. Çdo lidhje e dy shprehjeve matematike të llojit të njëjtë me relacione quhet formulë matematike. Përkufizimin e relacionit binar dhe të veprimit binar e japim në pikën 3, përkatësisht 5.
3. ↑ Shenja \scriptstyle \top i përgjan germës së parë të fjalës në gjuhën angleze true - i (e) vërtetë, i (e) i saktë

Fjalia e cila e ka njërën nga vlerat e saktësisë-e saktë ose jo e saktë-quhet gjykim.

Pra ajo që e dallon cilindo gjykim p është vetia se ai e ka njërën nga vlerat i saktë ose jo i saktë . Kështu themi : v (2 > -7) \scriptstyle{=} \scriptstyle \top, v (5 \scriptstyle \in {0,1, 2, . . . , 9) \scriptstyle{=} \scriptstyle \top, v ( \sqrt{2} \scriptstyle{=}1,5) \scriptstyle{=}1, v (15 : 4) \scriptstyle{=} \scriptstyle { \bot } etj . Mirëpo, në matematikë ekzistojnë edhe gjykime të atilla të cilat, ndonëse shprehin një pohim të caktuar, prapëseprapë ato, në bazë të variablave që e përmbajnë, nuk mund të konstatohet se a janë të sakta, apo jo të sakta . Gjykime të atilla quhen gjykime të hapura ose funksione gjykimesh. Funksione gjykimesh që i përmbajnë variablat x; x, y ; x, y, z ; etj. i shënojmë me F1(Y), F2(x, y), F3(x, y, z) etj. Nga këto që thamë del se funksione gjykimesh janë edhe formulat : 2x2 - x - 10 \scriptstyle{=} 0, 3x + 5y < -1, (n2 + n - 2) \vdots 3, p \scriptstyle { \| } q, F1 ~ F2 , ku secila prej tyre shndërrohet në gjykim, kur simbolet e variablave përkatëse x, y, n, p, q, F1 F2 zëvendësohen me objekte konkrete, me vlera të caktuara . Kjo metodë e shndërrimit të gjykimeve të hapura në gjykime quhet metoda e zëvendësimit (metoda e substitucionit) .

Kuptohet se, në përgjithësi, formulat matematike me variabla janë funksione gjykimesh, të cilat me metodën e zëvendësimit mund të shndërrohen ne gjykime.

Gjykimi quhet i thjeshtë, nëse asnjë pjesë e tij nuk paraget gjykim më vete, e gjykimi që nuk është i thjeshtë quhet gjykim i përbërë. P. sh . 7 \scriptstyle \in \scriptstyle \mathbb{N} është gjykim i thjeshtë, ndërkaq „Nëse trekëndëshi ABC është dybrinjënjëshëm, këndet në bazën e tij janë të barabarta" - është gjykim i përbërë dhe përbëhet prej këtyre dy gjykimeve të thjeshta : „Trekëndëshi ABC është dybrinjënjëshëm" dhe „Këndet në bazën e tij (e trekëndëshit ABC) janë të barabarta".

1 .2. VEPRIMET ME GJYKIME

Gjykimet e përbëra rëndom formohen prej gjykimeve të thjeshta me ndihmen e fjalëve: „jo", „dhe", „ose", „nëse . . . , atëhere . . ." , „atëhere e vetëm atëherë" . Këto fjalë-shprehje quhen lidhëza logjike . Duke përdorur lidhëzat logjike në gjykime kryhen operacione apo veprime themelore logjike. Kuptohet se secili gjykim i ri që formohet prej gjykimeve të dhëna me anën e veprimeve themelore logjike e ka vlerën e vet të saktësisë. Saktësia e gjykimit të përftuar varet vetëm prej saktësisë së gjykimeve që atë e formojnë . Pikërisht kjo varësi shgyrtohet në algjebrën e gjykimeve, meqë asaj nuk i interesojnë përmbajtjet e gjykimeve të formuara, por vetëm vlera e saktësisë së tyre.

1.2.1. NEGACIONI (MOHIMI) I GJYKIMIT

Veprimi më i thjeshtë logjik që përdoret në gjykime është negacioni (mohimi), të cilit, në gjuhën e zakonshme, i përgjigjet fjalëza „jo" (ose shprehja „nuk është" ).

P ë r k u f i z i m i 1.2.1.1. - Negacioni i gjykimit p quhet gjykimi \scriptstyle { \lnot } p (lexo : jo p ose nuk është p) i cili është i saktë, respektivisht jo i saktë kur gjykimi p është jo i saktë, respektivisht i saktë.
Simboli \scriptstyle { \lnot } është shenja e negacionit. Sipas përkufizimit del se tabela e saktësisë së negacionit duket kështu:

v (p) v ( \scriptstyle { \lnot }p)
\scriptstyle \top \scriptstyle { \bot }
\scriptstyle { \bot } \scriptstyle \top


S h e m b u l l i 1 - Le të jenë dhënë gjykimet : p: 1\scriptstyle \in\scriptstyle \mathbb{N}, q: 35 \vdots 3, r : 5 > 7, s : { 1, 2, 3, 4} \scriptstyle{=} {2, 4, 1,

3} .

Negacionet e tyre janë gjykimet : \scriptstyle { \lnot } p :1 \scriptstyle \in \scriptstyle \mathbb{N}, \scriptstyle { \lnot } q : 35\not \vdots3, \scriptstyle { \lnot } r :5 < 7, \scriptstyle { \lnot } s : {1, 2, 3, 4} \scriptstyle { \neq } {2, 4, 1, 3} , e vlerat e saktësisë së tyre:

v (p) v ( \scriptstyle { \lnot }p) v (q) v ( \scriptstyle { \lnot }q) v (r) v ( \scriptstyle { \lnot }r) v(s) v ( \scriptstyle { \lnot }s)
\scriptstyle \top \scriptstyle { \bot } \scriptstyle { \bot } \scriptstyle \top \scriptstyle { \bot } \scriptstyle { \bot } \scriptstyle \top \scriptstyle { \bot }

Negacioni ( \scriptstyle { \lnot } ) është një veprim unar në bashkësinë e gjykimeve, meqë me atë çdo gjykimi p, me vlerë të caktuar të saktësisë, i shogërohet gjykimi i përbërë \scriptstyle { \lnot } p me vlerë të kundërt të saktësisë . Në pajtim me këtë del se negacioni i gjykimit \scriptstyle { \lnot } p, d.m.th. \scriptstyle { \lnot } ( \scriptstyle { \lnot } p) është p, andaj v ( \scriptstyle { \lnot } ( \scriptstyle { \lnot } p )) \scriptstyle{=} v (p).
Pra, gjykimet i ( \scriptstyle { \lnot } p ), p kanë një vlerë të njëjtë të saktësisë. Gjykime të këtilla quhen ekuivalente[1] dhe shënohen me simbolin e ekuivalencës \scriptstyle \Leftrightarrow:
\scriptstyle { \lnot }( \scriptstyle { \lnot } p) \scriptstyle \Leftrightarrow p{1}
Kjo formulë shpreh të ashtuquajturën ligj i negacionit të dyfishtë.

1 .2 .2. KONJUKSIONI I GJYKIMEVE

Kur gjykimi i përbërë formohet prej dy (ose më shumë) gjykimeve çfarëdo me ndihmën e lidhëzëz „ dhe", thuhet se ajo lidhëz e përcakton veprimin logjik që quhet konjuksion[2].

P ë r k u f i z i m i 1.2.2.1. - Konjuksioni i dy gjykimeve p, q quhet gjykimi p \scriptstyle \land q (lexo : p dhe q),i cili është i saktë kur janë të sakta të dy gjykimet p, q.
Simboli \scriptstyle \land është shenja e konjuksionit. Tabela e saktësisë së konjuksionit duket kështu :

v (p) v (q) v (p \scriptstyle \land q)
\scriptstyle \top \scriptstyle \top \scriptstyle \top
\scriptstyle \top \scriptstyle { \bot } \scriptstyle { \bot }
\scriptstyle { \bot } \scriptstyle { \bot } \scriptstyle { \bot }
\scriptstyle { \bot } \scriptstyle \top \scriptstyle { \bot }

1. ↑ Për ekuivalencës e gjykimeve shih p. 1 .2.5 .
2. ↑ Nga fjala latine conjuctio - lidhëz.

Meqë vlerat e saktësisë së gjykimeve p, q mund të jenë \scriptstyle \top ose \scriptstyle { \bot }, tabela e saktësisë së konjuksionit mund të shkruhet më shkurt kështu :

\scriptstyle \land \scriptstyle \top \scriptstyle { \bot }
\scriptstyle \top \scriptstyle \top \scriptstyle { \bot }
\scriptstyle { \bot } \scriptstyle { \bot } \scriptstyle \top

S h e m b u l l i 2. - Le të jenë p, q këto dy gjykime
p : Brinjët e kundërta të drejtkëndëshit janë të barabarta ; dhe
q : Brinjët e kundërta të drejtkëndëshit janë paralele.
Konjuksioni i tyre do të jetë :
p \scriptstyle \land q : Brinjët e kundërta të drejtkëndëshit janë të barabarta dhe paralele.


S h e m b u l l i 3. - Le të jenë gjykimet : p : (15,7)\scriptstyle{=}1 dhe q :1 > - 2. Të formohet konjuksioni dhe të gjendet vlera e tij.

Z g j i d h j e : p\scriptstyle \landq :(15,7)\scriptstyle{=}1\scriptstyle \land1>-2, v(p\scriptstyle \landq)\scriptstyle{=}\scriptstyle \top, sepse v((15,7)\scriptstyle{=}1)\scriptstyle{=}\scriptstyle \top dhe v (1 > - 2)\scriptstyle{=}\scriptstyle \top .

Konjuksioni është një veprim binar, megë lidh dy gjykime dhe si rezultat jep një gjykim të tretë, konjuksionin e tyre.

Përkufizimi i konjuksionit të dy gjykimeve lehtë mund të zgjerohet edhe në rastin e n gjykimeve (n \scriptstyle \in N, n

Përkufizimi i konjuksionit të dy gjykimeve lehtë mund të zgjerohet edhe në rastin e n gjykimeve (n \scriptstyle \in N, n \scriptstyle \geqslant 2). Prej përkufizimit të konjuksionit dalin këto dy ligje të rëndësishme të logjikës së gjykimeve:

p\scriptstyle \landq\scriptstyle \Leftrightarrowp , dhe p\scriptstyle \landq\scriptstyle \Leftrightarrowq\scriptstyle \landp ... (2)

ligji i idempotencës dhe ai i komutacionit . Saktësinë e tyre e provojmë duke formuar tabelën e saktësisë për secilën formulë. P.sh. për të provuar ligjin e komutacionit formojmë këtë tabelë :

p q p\scriptstyle \landq q\scriptstyle \landp
\scriptstyle \top \scriptstyle \top Te vlera të njëjta.PNG Te vlera të njëjta.PNG
\scriptstyle \top \scriptstyle { \bot } Jote vlera të njëjta.PNG Jote vlera të njëjta.PNG
\scriptstyle { \bot } \scriptstyle \top Jote vlera të njëjta.PNG Jote vlera të njëjta.PNG
\scriptstyle { \bot } \scriptstyle { \bot } Jote vlera të njëjta.PNG Jote vlera të njëjta.PNG

Vlerat e rrethuara Te vlera të njëjta.PNG Jote vlera të njëjta.PNG në dy shty11at e fundit të tabelës tregojnë se gjykimet p\scriptstyle \landq, q\scriptstyle \landp kanë një vlerë të njëjtë të saktësisë, andaj themi se janë ekuivalente.

1 .2.3. DISJUNKSIONI I GJYKIMEVE

Kur gjykimi përbërë formohet prej dy gjykimeve çfarëdo me ndihëmen e lidhëzës „ose" thuhet se ajo lidhëz përcakton veprimin logjik që quhet disjunkston [1]. Mirëpo, në gjuhën e zakonshme lidhëzja "ose" i ka dy kuptime - kuptimin inkluziv dhe atë eksluziv - , andaj duhet dalluar dy raste të posaçme të disjunksionit - disjunksionin e thjeshtë (zakonshëm, inkluziv) dhe disjunksionin ekskluziv (rigoroz) . Lidhëzja "ose" perdoret në kuptimin inklu-

ziv, kur nuk përjashtohet mundësia e saktësisë së njëkohshme e të dy gjykimeve, kurse ajo përdoret në kuptimin ekskluziv pikërisht kur përjashtohet ajo mundësi. Kështu b.f. në gjykimin e përbërë : "Trekëndëshi ABC është kënddrejtë ose dybrinjënjëshëm", lidhëzja „ose" e ka kuptimin inkluziv, sepse trekëndëshi në fjalë ABC në të vërtetë mund të jetë : (a1 ) kënddrejtë e br:injëndryshëm, (a2) këndpjerrët e dybrinjënjëshëm, ose (a3) kënddrejtë e dybrinjënjëshëm. Pra, këtu nuk përjashtohet mundësia që trekëndëshi në fjalë të jetë njëherit edhe kënddrejtë edhe i dybrinjënjëshëm . Ndërkaq, në gjykimin „Numri natyral n është çift ose tek", lidhëzja ,,ose" ka kuptimin ekskluziv - këtu përjashtohet mundësia që numri në fjalë n të jetë njëherit edhe çift edhe tek. Pra, kuptimi ekskluziv i lidhëzës "ose" në të vërtetë e ka domethënien "ose . . . . . . ose". Duke pasur parasysh këto, themi :

P ë r k u f i z i m i 1.2.3.1. - Disjunksioni (inkluziv) i dy gjykimeve p, q quhet gjykimi p\scriptstyle \lorq (lexo : p ose q ). i cili është i saktë kur është i saktë së paku njëri nga gjykimet p, q.
Simboli \scriptstyle \lor është shenja e disjnnksionit. Tabela e saktësisë së disjunksionit duket kështu :

v (p) v (q) v (p\scriptstyle \lorq) ose më shkurt
\scriptstyle \lor \scriptstyle \top \scriptstyle { \bot }
\scriptstyle \top \scriptstyle \top \scriptstyle { \bot }
\scriptstyle { \bot } \scriptstyle { \bot } \scriptstyle \top
\scriptstyle \top \scriptstyle \top \scriptstyle \top
\scriptstyle \top \scriptstyle { \bot } \scriptstyle \top
\scriptstyle { \bot } \scriptstyle \top \scriptstyle \top
\scriptstyle { \bot } \scriptstyle { \bot } \scriptstyle { \bot }

S h e m b u l l i 4 - Të provohet barazia v( \scriptstyle { \lnot }(pvq) ) \scriptstyle{=} v( \scriptstyle { \lnot }p \scriptstyle \lor \scriptstyle { \lnot }q ) .
Z g j i d h i e : Barazinë e dhënë e provojmë duke formuar tabelën:

p q p\scriptstyle \lorq \scriptstyle { \lnot } {p\scriptstyle \lorq} \scriptstyle { \lnot } p \scriptstyle { \lnot } q \scriptstyle { \lnot } p\scriptstyle \land \scriptstyle { \lnot } q
\scriptstyle \top \scriptstyle \top \scriptstyle \top Te vlera të njëjta.PNG \scriptstyle { \bot } \scriptstyle { \bot } Jote vlera të njëjta.PNG
\scriptstyle \top \scriptstyle { \bot } \scriptstyle \top Te vlera të njëjta.PNG \scriptstyle { \bot } \scriptstyle \top Jote vlera të njëjta.PNG
\scriptstyle { \bot } \scriptstyle \top \scriptstyle \top Te vlera të njëjta.PNG \scriptstyle \top \scriptstyle { \bot } Jote vlera të njëjta.PNG
\scriptstyle { \bot } \scriptstyle { \bot } \scriptstyle { \bot } Te vlera të njëjta.PNG \scriptstyle \top \scriptstyle \top Te vlera të njëjta.PNG

Vlerat e rrethuara Te vlera të njëjta.PNG, Jote vlera të njëjta.PNG në shtyllën e katërt dhe në atë të fundit të tabelës tregojnë se barazimi i dhënë është i saktë.
Kuptohet, edhe disjunksioni është veprirn binar, ku vlen ligji i idempotencës dhe i komutacionit:

p\scriptstyle \lorq\scriptstyle \Leftrightarrowp, p\scriptstyle \lorq\scriptstyle \Leftrightarrowq\scriptstyle \lorp. (...3)

P ë r k u f i z i m i 1.2.3.2. - Disjunksioni ekskluzi i dy gjykimeve p, q quhet gjykimi p\scriptstyle { \underline \lor }q (lexo : ose p ose q) i cili është i saktë kur është i saktë vetëm njëri nga gjykimet p, q .
Simboli \scriptstyle { \underline \lor } është shenja e disjunkstonit ekskluziv.

abela e saktësisë është

v (p) v (q) v (p\scriptstyle { \underline \lor }q) ose më shkurt
\scriptstyle { \underline \lor } \scriptstyle \top \scriptstyle { \bot }
\scriptstyle \top \scriptstyle { \bot } \scriptstyle { \bot }
\scriptstyle { \bot } \scriptstyle { \bot } \scriptstyle \top
\scriptstyle \top \scriptstyle \top \scriptstyle { \bot }
\scriptstyle \top \scriptstyle { \bot } \scriptstyle \top
\scriptstyle { \bot } \scriptstyle \top \scriptstyle \top
\scriptstyle { \bot } \scriptstyle { \bot } \scriptstyle { \bot }
1. 2. 4. IMPLIKACIONI I GJYKIMEVE

Kur gjykimi i përbërë formohet prej dy gjykimeve tjera me ndihmën e lidhëzës "nëse . . . , atëherë . . .", thuhet se ajo lidhëz e përcakton veprimin logjik që quhet implikacion [1] . Gjykimi që pason pas fjalës "nëse" quhet supozim (hipotezë, premisë), ndërsa gjykimi pas fjalës "atëherë" quhet konkluzion (tezë, pasojë). Kuptohet, hipoteza është fundamenti në të cilën rëndom bazohet konkluzioni. Kështu është rasti, p .sh. në implikacionet :
p : Nëse n \scriptstyle \in N, atëherë n2 \scriptstyle \in \scriptstyle \mathbb{N} ;
q : Nëse a < 0 dhe b < 0, atëherë a • b > 0 ;
r : Nëse n \scriptstyle{=} 5, atëherë (n2 + 5n -1) \vdots 7 ;
s : Nëse x \scriptstyle{=} 6, atëherë log (3x2 - 8) \scriptstyle{=} 2 .

P ë r k u f i z i m i 1.2.4.1. - Implikacioni i dy gjykimeve p, q quhet gjykimi p \scriptstyle { \Rightarrow } q (lexo : nëse p, atëherë q ose nga p rrjedh q ose p implikon q), i cili është jo i saktë kur p është i saktë e q jo i saktë.
Simboli \scriptstyle { \Rightarrow } është shenja e implikacionit. Tabela e saktësisë së implikacionit është:

v (p) v (q) v (p\scriptstyle { \Rightarrow } q) ose më shkurt
\scriptstyle { \Rightarrow } \scriptstyle \top \scriptstyle { \bot }
\scriptstyle \top \scriptstyle \top \scriptstyle { \bot }
\scriptstyle { \bot } \scriptstyle \top \scriptstyle \top
\scriptstyle \top \scriptstyle \top \scriptstyle \top
\scriptstyle \top \scriptstyle { \bot } \scriptstyle { \bot }
\scriptstyle { \bot } \scriptstyle \top \scriptstyle \top
\scriptstyle { \bot } \scriptstyle { \bot } \scriptstyle \top


S h e m b u l l i 5. - Le të jenë gjykimet : p: \scriptstyle { \sqrt{2} } \scriptstyle{=} 1,5 dhe q : \pi \scriptstyle { \approx } 3,14 . Të caktohen saktësisë e implikacioneve :

p\scriptstyle { \Rightarrow } q, p\scriptstyle { \Rightarrow } \scriptstyle { \lnot }q, q \scriptstyle { \Rightarrow } p, q\scriptstyle { \Rightarrow } \scriptstyle { \lnot }p .

Z g j i d h j e : Meqë v (p) \scriptstyle{=}\scriptstyle { \bot }, v (q) \scriptstyle{=}\scriptstyle \top do të kemi:

v (p\scriptstyle { \Rightarrow } q)\scriptstyle{=}\scriptstyle \top, v (p\scriptstyle { \Rightarrow } \scriptstyle { \lnot }q)\scriptstyle{=}\scriptstyle \top, v (q\scriptstyle { \Rightarrow } p)\scriptstyle{=}\scriptstyle { \bot }, v (q\scriptstyle { \Rightarrow } \scriptstyle { \lnot }p)\scriptstyle{=}\scriptstyle \top .

Duhet theksuar se me negacionin, konjuksionin dhe disjunksionin mund të lidhen në mes tyre dy gjykime çfarëdo, plotësisht të pavarura, kurse në implikacionin e gjykimeve vlera e saktësisë së gjykimit të parë mund të influencojë në vlerën e saktësisë së gjykimit tjetër.

S h e m b u l l i 6. - Le të jenë p, q këto dy gjykime:

p : Numri natyral plotpjesëtohet me ;
q : Numri natyral plotpjesëtohet me .

Implikacioni i tyre do të jetë :
p\scriptstyle { \Rightarrow } q : Nëse , atëherë .

Kuptohet, këtu vlera e saktësisë së gjykimit q varet prej saktësisë së gjykimit p. Nga ky shembull mund të vërehet edhe fakti se implikacioni është një veprim binar jokumutativ, sepse në rastin e përgjithshëm

.

Për implikacionin p\scriptstyle { \Rightarrow } q, implikacioni q\scriptstyle { \Rightarrow } p quhet i anasjelltë.

V ë r e j t j e : Rast i veçantë i implikacionit është konsekuenca - kur prej gjykimit p logjikisht rrjedh gjykimi q, i cili është i saktë vetëm kur p është i saktë . Raste të këtlla paraqiten në mes të teoremave matematike dhe konsekuencave të tyre, sikurse edhe në mes të supozimeve të teoremave dhe konkludimeve të tyre. Në këto raste implikacioni p\scriptstyle { \Rightarrow } q lexohet edhe kështu : p është kusht i mjaftueshëm për q; q është kusht i nevojshëm për p; q është rrjedhim i q ; etj. Fakti se prej gjykimit p logjikisht nuk rrjedh gjykimi q, shënohet p\scriptscriptstyle { \not \Rightarrow } q

S h e m b u l l i 7. - Le të jetë gjykimi p : a > 0 \scriptstyle \land b > 0 . Si konsekuencë e gjykimit p mund të nxirret gjykimi q:ab>0 , d.m.th. :

a>0 \scriptstyle \land b>0 \scriptstyle { \Rightarrow } ab>0.

Mirëpo, e anasjellta nuk vlen (q\scriptstyle { \not \Rightarrow } p) , sepse q është vetëm kusht i nevojshëm (por jo i mjaftueshëm) për p, pra :

ab>0 \scriptstyle { \not \Rightarrow } a>0 \scriptstyle \land b>0.
1.2.5. EKUIVALENCA E GJYKIMEVE

Kur gjykimi i përbërë formohet nga dy (ose më shumë) gjykime të tjera me ndihmën e fjalëve (shprehjeve) „nëse dhe vetëm nëse", „atëherë dhe vetëm atëherë", „e nevojshme dhe e mjaftueshme", thuhet se përcaktohet me veprimin e ekuivalencës[1] .


P ë r k u f i z i m i 1.2.5.1. - Ekuivalenca e gjykimeve p, q quhet gjykimi p\scriptstyle \Leftrightarrowq (lexo : p ekuivalent q), i cili është i saktë kur të dy gjykimet p, q janë të sakta ose janë jo të sakta.

Simboli \scriptstyle \Leftrightarrow është shenja e ekuivalencës. Tabela e saktësisë se ekuivalencës është :

v (p) v (q) v (p\scriptstyle \Leftrightarrowq) ose më shkurt
\scriptstyle \Leftrightarrow \scriptstyle \top \scriptstyle { \bot }
\scriptstyle \top \scriptstyle \top \scriptstyle { \bot }
\scriptstyle { \bot } \scriptstyle { \bot } \scriptstyle \top
\scriptstyle \top \scriptstyle \top \scriptstyle \top
\scriptstyle \top \scriptstyle { \bot } \scriptstyle { \bot }
\scriptstyle { \bot } \scriptstyle \top \scriptstyle { \bot }
\scriptstyle { \bot } \scriptstyle { \bot } \scriptstyle \top

Kur krahasohen tabelat e saktësisë së implikacioneve p \scriptstyle { \Rightarrow } q, q \scriptstyle { \Rightarrow } p dhe e ekuivalencës p \scriptstyle \Leftrightarrow q , lehtë mund të shihet ligji logjik, i cili shpreh lidhjen në mes këtyre gjykimeve:

(p \scriptstyle \Leftrightarrow q)(p \scriptstyle { \Rightarrow } q) \scriptstyle \land (q \scriptstyle { \Rightarrow } p) (...4)

respektivisht del:

v (p) v (q) v (p \scriptstyle { \Rightarrow } q) v (q \scriptstyle { \Rightarrow } p) v (q \scriptstyle { \Rightarrow } p) \scriptstyle \land (q \scriptstyle { \Rightarrow } p) v (q \scriptstyle \Leftrightarrow p)
\scriptstyle \top \scriptstyle \top \scriptstyle \top \scriptstyle \top Te vlera të njëjta.PNG Te vlera të njëjta.PNG
\scriptstyle \top \scriptstyle { \bot } \scriptstyle { \bot } \scriptstyle \top Jote vlera të njëjta.PNG Jote vlera të njëjta.PNG
\scriptstyle { \bot } \scriptstyle \top \scriptstyle \top \scriptstyle { \bot } Jote vlera të njëjta.PNG Jote vlera të njëjta.PNG
\scriptstyle { \bot } \scriptstyle { \bot } \scriptstyle \top \scriptstyle \top Te vlera të njëjta.PNG Te vlera të njëjta.PNG


Pra, ekuivalenca p \scriptstyle \Leftrightarrow q në të vërtetë është implikacion i dyfishtë (p \scriptstyle { \Rightarrow } q, q \scriptstyle { \Rightarrow } p) , andaj ajo është veprim binar komutativ.


S h e m b u l l i 8. - Nëse x1 , x2 janë zerot e trinomit t(x) \scriptstyle{=} ax2 + bx + c, a \scriptstyle { \neq } 0 (d.m.th. t(x1 ) \scriptstyle{=} 0, t(x2 ) \scriptstyle{=} 0) , atëherë gjykimet p: x1 \scriptstyle { \neq } x2 dhe q: b2 - 4ac \scriptstyle { \neq } 0 janë ekuivalente:

x1 \scriptstyle { \neq } x2 \scriptstyle \Leftrightarrow b2 - 4ac \scriptstyle { \neq } 0 ,

sepse : p \scriptstyle { \Rightarrow } q dhe q \scriptstyle { \Rightarrow } p .

1 .3. LIGJET E LOGJIKËS SË GJYKIMEVE

Kur në gjykime p, q, r, . . . [1] veprojmë me veprime themelore logjike : \scriptstyle { \lnot } , \scriptstyle \land , \scriptstyle \lor , \scriptstyle { \underline \lor } , \scriptstyle { \Rightarrow } , \scriptstyle \Leftrightarrow marrim gjykime të përbëra të trajtave:

\scriptstyle { \lnot } p, p \scriptstyle \land q, p \scriptstyle \lor q, p \scriptstyle { \underline \lor } q, p \scriptstyle { \Rightarrow } q, p \scriptstyle \Leftrightarrow q, p \scriptstyle \land \scriptstyle { \lnot } q,
p \scriptstyle \lor \scriptstyle { \lnot } p, (p \scriptstyle { \Rightarrow } q) \scriptstyle \land \scriptstyle { \lnot } q \scriptstyle { \Rightarrow } \scriptstyle { \lnot } p, (p \scriptstyle { \Rightarrow } q) \scriptstyle \Leftrightarrow ( \scriptstyle { \lnot } q \scriptstyle { \Rightarrow } \scriptstyle { \lnot } p) , etj.

të cilat quhen formula gjykimesh . Vlera e saktësisë së një formule gjykimesh provohet duke formuar tabelen e saktësisë së veprimeve themelore logjike.


S h e m b u l l i 9. - Të provohet saktësia e formulës

(p \scriptstyle { \Rightarrow } q) \scriptstyle \Leftrightarrow ( \scriptstyle { \lnot } p \scriptstyle { \Rightarrow } \scriptstyle { \lnot } q),

e cila shpreh ligjin e kontrapozicionit.


Z g j i d h j e : Nga tabela e formuar

p q p \scriptstyle { \Rightarrow } q \scriptstyle { \lnot } q \scriptstyle { \lnot } p \scriptstyle { \lnot } q \scriptstyle { \Rightarrow } \scriptstyle { \lnot } p (p \scriptstyle { \Rightarrow } q) \scriptstyle \Leftrightarrow ( \scriptstyle { \lnot } q \scriptstyle { \Rightarrow } \scriptstyle { \lnot } p)
\scriptstyle \top \scriptstyle \top Te vlera të njëjta.PNG \scriptstyle { \bot } \scriptstyle { \bot } Te vlera të njëjta.PNG Te vlera të njëjta.PNG
\scriptstyle \top \scriptstyle { \bot } Jote vlera të njëjta.PNG \scriptstyle \top \scriptstyle { \bot } Jote vlera të njëjta.PNG Te vlera të njëjta.PNG
\scriptstyle { \bot } \scriptstyle \top Te vlera të njëjta.PNG \scriptstyle { \bot } \scriptstyle \top Te vlera të njëjta.PNG Te vlera të njëjta.PNG
\scriptstyle { \bot } \scriptstyle { \bot } Te vlera të njëjta.PNG \scriptstyle \top \scriptstyle \top Te vlera të njëjta.PNG Te vlera të njëjta.PNG

shihet se formula e dhënë është e saktë.

1. ↑ Rëndom p, q, r, . . . quhen gjykime fillestare ose themelore .

Formulat e gjykimeve të cilat janë të sakta për çdo vlerë të gjykimeve fillestare quhen tautologji ose ligje logjike. Kur ndonjë formulë gjykimesh është tautologji, para saj shënohet simboli Tautologji.PNG .


S h e m b u l l i 10. - Të provohet tautologjia

Tautologji.PNG {(p \scriptstyle { \Rightarrow } q)} \scriptstyle \land (q \scriptstyle { \Rightarrow } r)(p \scriptstyle { \Rightarrow } r) ,

e cila shpreh ligjin logjik të quajtur rregulla e silogjizmit.


Z g j i d h j e : Nga tabela e formuar :

p q r p \scriptstyle { \Rightarrow } r q \scriptstyle { \Rightarrow } r (p \scriptstyle { \Rightarrow } q) \scriptstyle \land (q \scriptstyle { \Rightarrow } r) p \scriptstyle { \Rightarrow } r (p \scriptstyle { \Rightarrow } q) \scriptstyle \land (q \scriptstyle { \Rightarrow } r) \scriptstyle { \Rightarrow } (p \scriptstyle { \Rightarrow } r)
\scriptstyle \top \scriptstyle \top \scriptstyle \top \scriptstyle \top \scriptstyle \top \scriptstyle \top \scriptstyle \top \scriptstyle \top
\scriptstyle \top \scriptstyle \top \scriptstyle { \bot } \scriptstyle \top \scriptstyle { \bot } \scriptstyle { \bot } \scriptstyle { \bot } \scriptstyle \top
\scriptstyle \top \scriptstyle { \bot } \scriptstyle \top \scriptstyle { \bot } \scriptstyle \top \scriptstyle { \bot } \scriptstyle \top \scriptstyle \top
\scriptstyle \top \scriptstyle { \bot } \scriptstyle { \bot } \scriptstyle { \bot } \scriptstyle \top \scriptstyle { \bot } \scriptstyle { \bot } \scriptstyle \top
\scriptstyle { \bot } \scriptstyle \top \scriptstyle \top \scriptstyle \top \scriptstyle \top \scriptstyle \top \scriptstyle \top \scriptstyle \top
\scriptstyle { \bot } \scriptstyle \top \scriptstyle { \bot } \scriptstyle \top \scriptstyle { \bot } \scriptstyle { \bot } \scriptstyle \top \scriptstyle \top
\scriptstyle { \bot } \scriptstyle { \bot } \scriptstyle \top \scriptstyle \top \scriptstyle \top \scriptstyle \top \scriptstyle \top \scriptstyle \top
\scriptstyle { \bot } \scriptstyle { \bot } \scriptstyle { \bot } \scriptstyle \top \scriptstyle \top \scriptstyle \top \scriptstyle \top \scriptstyle \top

konkludohet se rregulla e silogjizmit është e saktë për çdo vlerë të gjykimeve fillestare, andaj ajo është tautologji .

Tautologji janë edhe formulat :

(a1 ) (p \scriptstyle \land q) \scriptstyle \land r \scriptstyle \Leftrightarrow p \scriptstyle \land (q \scriptstyle \land r) ;

(a2 ) (p \scriptstyle \lor q) \scriptstyle \lor r \scriptstyle \Leftrightarrow p \scriptstyle \lor (q \scriptstyle \lor r) ;

(a3 ) p \scriptstyle \land (q \scriptstyle \lor r) \scriptstyle \Leftrightarrow (p \scriptstyle \land q) \scriptstyle \lor (p \scriptstyle \land r) ;

(a4 ) p \scriptstyle \lor (q \scriptstyle \land r) \scriptstyle \Leftrightarrow (p \scriptstyle \lor q) \scriptstyle \land (p \scriptstyle \lor r) ;

që shprehin ligjet se veprimet \scriptstyle \land , \scriptstyle \lor janë asocijative dhe ato janë distributive njëri ndaj tjetrit.

1.4. KUAKTIFIKATORËT


Kemi përmendur se me metodën e zëvendësimit funksionet e gjykimeve F1 (x), F2 (x, y), F3 (x, y, z), . . . shndërrohen në gjykime . Mirëpo, tani do të shohim se ato shndërrohen në gjykime edhe duke përdorur kuantifikatorët \scriptstyle{ \forall } dhe \scriptstyle{ \exists } , të cilëve u përgjigjen fjalët "çdo" ("secili") dhe "ekziston" ("ndonjë" , "së paku një"). Simboli \scriptstyle{ \forall } quhet kuantifikator universal (i përgjithshëm), ndërkaq \scriptstyle{ \exists } kuantifikator i ekzistimit.


Të marrim, për shembull, këto funksione gjykimesh :

(a1 ) Çdo dy numra natyralë të njëpasnjëshëm janë relativisht të thjeshtë ;

(a2 ) Shuma e çdo dy numrave natyralë është numër natyral ;

(a3 ) Ndonjë numër natyral është zgjidhja e inekuacionit 2x+5<12 ;

(a4 ) Për secilin numër të plotë mund të gjendet së paku një numër tjetër i plotë, ashtu që shuma a tyre të jetë 5 .