Teorema e Pitagorës

Teorema e Pitagorës

Teorema e Pitagorës thotë : Te çdo trekëndësh këndrejt shuma e katrorëve të ndërtuar mbi kateta është e barabartë me katrorin e ndërtuar mbi hipotenuzë.

a^2+b^2=c^2.\,\!

Përgjithësimi i teoremës së Pitagorës quhet Teorema e kosinusit ose teorema e Al-Kasshit.

Ky vërtetim bazohet në proporcionalitetin e brinjëve të trekëndshave të ngjajshëm.

Le të jetë ABC një trekëndësh këndi i drejtë i të cilit është në kulmin C, shih figurën. Lëshojmë lartësinë nga kulmi C, dhe dhe e shënojmë me H pikëprerjen e saj me brinjën AB. Atëherë trekëndëshi ACH është i ngjajshëm me trekëndëshin ABC, sepse të dy kanë një kënd të drejtë (sipas përkufizimit të lartësisë), dhe këndin te kulmi A e kanë të përbashkët. Me arsyetime të ngjajshme mund të tregojmë se trekëndëshi CBH është i ngjajshëm me trekëndëshin ABC. Nga ngjajshmëria përfundojmë se..:

BC=a, AC=b, \text{ dhe } AB=c, \!

kështuqë

\frac{a}{c}=\frac{HB}{a} \mbox{ dhe } \frac{b}{c}=\frac{AH}{b}.\,

prej këtu

a^2=c\times HB \mbox{ dhe }b^2=c\times AH. \,

Nëse i mbledhim këta brazime fitojmë se

a^2+b^2=c\times HB+c\times AH=c\times(HB+AH)=c^2 .\,\!

Me fjalë tjera kjo është teorema e Pitagorës:

a^2+b^2=c^2.\,\!