Analiza Matematike

Analiza Matematike

Analiza matematike e ka bazen tek formulimi rigoroz i llogaritjes infinitezimale. Analiza është dega e matematikës që merret shprehimisht me nocione të tilla si limiti, qoftë limiti i një vargu numerik apo i një funksioni. Ajo përfshin gjithashtu nocione të tjera si vazhdueshmëria, derivimi dhe integrali. Këto nocione janë të studiuara në kontekstin e numrave rreal ose kompleks. Megjithatë , këto nocione mund të jenë te përcaktuara dhe të studiuara në një kontekst më të përgjithshëm në hapësirat topologjike.

Motivimi për studimin e analizes matematike në kontekstin më të gjërë te hapësirave topologjike dhe metrike është i dyanshëm:

* Së pari, vetë teknikat bazike kanë provuar se janë të aplikueshme nje klase të gjërë problemesh .

* Së dyti, studimi në hapësirat më abstrakte ka dhënë prova të zbatueshmërisë në probleme klasike të fizikës. Për shembull, në analizën e Fouriesë, funksionet janë të shprehura si shuma të pafundme të disa funksioneve trigonometrike ose eksponenciale komplekse. Në fakt në analizën e Fouriesë është e mundur të shpërbashkosh funksione që në fillim duken shumë të nderlikuara nepërmjet funksioneve sinus dhe cosinus.

Pak histori

Respaktivisht ne lashtësi dhe ne mesjetë, matematicienët grek dhe indianë janë interesuar infinitezimales duke arritur rezultate premtues por shumë të fragmentuara. Për arsye historike, pasardhesit e tyre të menjëhershëm nuk avancuan më shumë me keto baza.

Analiza moderne është themeluar në shekullin e XVII nga Leibnitz dhe Newton. Në shekullin e XVII, temat e analizës si llogaritjet infinitezimale, ekuacionet diferenciale, ekuacionet me derivate të pjesshme, analiza e Fouriesë dhe fonksionet e krijuara prej tyre, u zhvilluan fillimisht në kuadrin e aplikimeve praktike në fizikë. Këto teknike ishin të suksesshme në përdorimin e tyre praktikë.

Gjatë gjithë shekullit të XVII,perkufizimi i funksionit ishte shumë i debatuar mes matematicienëve të kohes. Në shekullin e XIX, Cauchy ishte i pari që dha themelet logjike strikte të llogaritjes infinitezimale duke futur konceptin e vargut të Cauchy. Ai hodhi bazat edhe të teorisë formale të analizës komplekse. Poisson, Liouville, Fourier dhe të tjerë studiuan ekuacionet me derivate të pjesshme dhe problemet e analizës harmonike.

Në mes të shekullit të XIX, Riemann paraqet teorine e tij të integrimit : integralin e Riemann. Gjatë pjesës së tretë të shekullit të XIX, Karl Weierstrass jep përkufizimin « ε-δ » të limitit dhe aritmetizon për herë të parë konceptet e analizës që deri atëherë ishin të studiuara në kuadrin e gjeometrisë. Për herë të parë u zgjidh problemi i vazhdueshmërisë të numrave rreal deri atëherë i pranuar pa vertëtim . Richard Dedekind ndërtoj në mënyrë formale për herë të parë numrat rreal.

Filluan të ndërtoheshin funksione nga më të çuditshmet(si për shembull funksione të vazhdueshme por të paderivueshme ) . Në këtë kontekst, Marie Ennemond Camille Jordan zhvilloj teorinë e tij të matjes. Georg Cantor zhvilloj teorinë naive të bashkësive. Në fillim të shekullit të XX llogaritja infinitezimale formalizohet me ndërmjetësinë e teorisë së bashkësive. Henri Lebesgue zgjidh problemet e matjes dhe David Hilbert krijon hapësirat e Hilbert për të zgjidhur ekuacionet integrale. Në vitet 1920 Stefan Banach krijon analizen funksionale dhe u avancua shumë në ndërtimin e një teorie në hapësirat vektoriale te normuara.

Ndarjet

Analiza matematike përfshin këto nëndegë.

* Analiza rreale, studimi riguroz mbi derivimin dhe integrimin e funksioneve me ndryshore rreale. Përfshin gjithashtu studimin e vargjeve, serive, limitet e tyre dhe matjet.
* Analiza funksionale studion hapësirat e funksioneve dhe shfaq koncepte si hapësirat e Banach dhe hapësirat e Hilbert.
* Analiza harmonike merret me serit e Fouriesë dhe përdorimin e tyre.
* Analiza komplekse, studimin e funksioneve me ndryshore komplexe dhe që marrin vlera komplekse.
* Topologji e përgjithshme, studimi i transformimeve topologjike të një figure gjeometrike çfarëdo.
* Gjeometria diferenciale, aplikimi i llogaritjeve tek hapësirat matematike abstrakte që zoterojnë një strukturë të brëndshme të ndërlikuar.
* Analiza numerike, studimi i algoritmeve për përafrimin e problemeve matematikes së vazhdueshme.

analiz funkesionalte

Analiza funksionale — është pjesë e matematikës, në të cilën studiohen hapësirat me pafund shumë dimensione dhe në këtë kuptim ajo paraqet një përgjithësim të algjebrës lineare. Për shembull "hapësira e funksioneve të vazhdueshme", "Hapësira e funksioneve të integrueshme" pastaj Hapësirat e Banachut dhe Hapësirat e Hilbertit. Rol të rëndësishëm kanë kuptimet ose konceptet e masës, metrikës, normës, prodhimit skalar etj. Për lidhjet në mes koncepteve themelore shfrytëzohen kuptimet e «operatorit» dhe «Funksionalit»

Zhvillimi i analizës funksionale është i lidhur me shqyrtimin e transformimeve Fourrier, ekuacioneve diferenciale dhe ekuacioneve integrale. Kontribut të veçantë në zhvillimin e analizës funksionale ka dhënë matematikani polak Stefan Banach i cili konsiderohet edhe themelues i saj.

Analiza harmonike

Analiza harmonike është dega e matematikës që studion paraqitjen e funksioneve apo sinjaleve si mbi vendosje e funksioneve bazë. Ajo heton dhe përgjithëson nocionet e serive të Furierit dhe transformimit të Furierit. Funksionet bazë quhen "harmonika" (në fizikë), prej nga rrjedh edhe emri "analiza harmonike", emri "harmonikë" në këtë kontekst është përgjithësuar përtej kuptimit të tij origjinal si faktor i shumëfishte i frekuencës. Në dy shekujt e kaluar, analiza harmonike është transformuar në një temë të gjerë me zbatime në fusha të ndryshme si në degën e përpunimit te sinjaleve, mekaniken kuantike, dhe në neurologji.

Transformimi klasik i Furierit në Rn është ende një zonë kërkimesh të vazhdueshme. Për shembull, nëse vendosim disa kërkesa në një distribucion f, problemi mund të kërkojë për të përkthyer këto kërkesa në terma të transformimit të Furierit në f. Teorema Paley-Wiener është një shembull i kësaj. Teorema Paley-Wiener menjëherë nënkupton se në qoftë se f është një shpërndarje jo-zero e një mbështetje kompakte (këto përfshijnë funksione me mbështetje kompakte), atëherë transformimi i Furierit i saj nuk mbështetet në mënyrë kompakte. Kjo është një formë shumë elementare e një parimi të papërcaktueshmërisë e studiuar me anë të analizës harmonike. Shikoni gjithashtu artikullin mbi Konvergjencën e serive të Furierit. Seritë e Furierit zakonisht studiohen në kontekstin e Hapësirës së Hilbertit e cila çon në një lidhje të natyrshme midis analizvs harmonike dhe analizës funksionale.

Analiza harmonike abstrakte

Një nga degët më moderne të analizës harmonike, që ka rrënjët e saj në mesin e shekullit XX, është analiza e grupeve topologjike. Ideja bazë motivuese janë transformimet e ndryshme, të cilat mund të përgjithësohen në transformimin e funksioneve te përcaktuar në grupe topologjike Hausdorff të cilat janë lokalisht kompakte.

Teoria për grupe kompakte lokale abeliane quhet dualiteti i Pontryagin, ajo konsiderohet të jetë në një gjendje të kënaqshme,[citim i duhur] sepse shpjegon karakteristikat kryesore të analizës harmonike.

Analiza harmonike studion vetitë e atij dualiteti dhe transformimit të Furierit dhe përpiqet për të zgjeruar këto karakteristika tek cilësimet te ndryshme, për shembull në rastin e grupeve Lie jo-abelian.

Për grupe kompakte lokale joabeliane të përgjithshme, analiza harmonike është e lidhur ngushtë me teorinë e përfaqësimit të grupit unitar. Për grupet kompakte, Teorema Peter-Weyl shpjegon se si mund të marrim një harmonike duke zgjedhur një përfaqësim të parreduktueshëmm nga çdo klasë ekuivalence e përfaqësimit. Kjo zgjedhje e harmonikave gëzon disa të veti të dobishme te transformimit klasik te Furierit në lidhje me kryerjen e konvulimeve për produktet pikësore, ose ndryshe tregon një kuptim të caktuar themelor të strukturës së grupit.

Nëse grupi nuk është as abelian as kompakt, nuk ka teori të kënaqshme të përgjithshme te njohur deri tani. Nga "të kënaqshme", duhet kuptuar të paktën ekuivalente me teoremën e Plansharelit. Megjithatë, shumë raste të veçanta janë analizuar, për shembull SLn. Në këtë rast, rezulton se paraqitja në dimensionin të pafundme luan një rol vendimtar.

Degë të tjera

* Studimi i ajgenvlerave dhe ajgenvektorit te operatorit Laplacian në fusha, manifolde, dhe (në një kontekst më të vogël) ne teorinë e grafeve është konsideruar një degë e analizës harmonike. Shikoni artikulli mbi dëgjimini e formës sv daulles.
* Analiza harmonike në hapësira Euklidiane merret me vetitë e transformimit të Furierit në Rn që nuk kanë analoge në grupe të përgjithshme. Për shembull, fakti se Transformimi i Furierit është invariant ndaj rrotullimeve. Dekompozimi i transformimit të Furierit në komponentët e tij radiale dhe sferike çon në tema të tilla si funksionet Bezel si dhe tekharmonikat sferike.
* Analiza harmonike në fusha cilindrike ka të bëjë me vetitë e përgjithësuara të hapësirave të Hardit në dimensione më të larta

Shikoni gjithashtu

* Seritë e Furierit
* Analiza harmonike jo-kommutative